Los frenos y embragues son sistemas mecánicos destinados a transmitir (embrague) o absorber (freno) energía mecánica de sólidos, habitualmente en rotación y que son los que trataremos en este tema. Por tanto controlan el movimiento y el par que llega a un eje.

Embrague: sistema mecánico cuya finalidad es controlar la transmisión de movimiento y potencia entre dos ejes, conectándolos y desconectándolos a voluntad. El proceso de conexión se llama embragado y permite que el eje de entrada transmita movimiento y par al de salida. El proceso de desconexión se llama desembragado y detiene la transmisión. Así por ejemplo el embrague de un coche permite transmitir el par generado en el motor a las ruedas. Al accionar el pedal del embrague se produce la desconexión, se desembraga; al soltar el pedal, se vuelve a embragar.
Durante el proceso de embragado se igualan las velocidades angulares de ambos ejes mediante la transmisión de par desde el eje de entrada al de salida.

Feno: sistema mecánico cuya finalidad disminuir la velocidad de un eje (por ejemplo las ruedas de un coche), eventualmente hasta pararlo. Este proceso se consigue por la aplicación de un par, contrario al movimiento, sobre el eje que se desea detener.

La transmisión del eje de entrada al de salida se produce mediante un par interno que actúa en sentidos opuestos sobre cada eje (cumpliendo el principio de acción y reacción).

El origen de este par permite clasificar a los frenos y embragues; así los puede haber: eléctricos —reostáticos y regenerativos—, magnéticos, viscosos, de fricción, etc. A pesar de que los eléctricos regenerativos se emplean desde hace algún tiempo en el mundo ferroviario y su empleo está teniendo gran auge con los coches híbridos y eléctricos, los de fricción son todavía los más empleados, y los que estudiaremos en este curso.

En los embragues y frenos de fricción el origen del par interno es el rozamiento. El accionamiento de éstos consiste en acercar el eje de salida a otro (o a un sólido en reposo si hablamos de un freno) aplicando una fuerza, que genera una presión (fuerza normal) entre las superficies en contacto, que a su vez conlleva la aparición de una fuerza de rozamiento.

4.1.1 Embragues y frenos, diferencias y similitudes

Como se ha visto, ambos sistemas tienen diferente finalidad:

freno absorbe la energía mecánica de un eje reduciendo su velocidad angular, eventualmente hasta detenerlo

embrague permite la tansmisión controlada de par desde un eje a otro. Este par tiende a igualar las velocidades angulares cuando se acciona el embrague.

Si consideramos que, al igual que un embrague, un freno está compuesto por dos ejes, uno de los cuales está siempre en reposo (por tener un momento de inercia infinito o porque recibe un par resistente que compensa el que el freno le transmite), ambos sistemas son equivalentes en cuanto a:

control: pueden conectarse y desconectarse a voluntad mediante alguna acción (habitualmente una fuerza), y tienen como efecto una respuesta (habitualmente un par —de embrague o de freno—).
En algunas ocasiones, como en los sistemas centrífugos, el accionamiento es automático. En estos casos la “voluntad” o control del accionamiento es parte del diseño, en el que se define la velocidad angular a la que se produce.

funcionamiento: la acción suele ser una fuerza que desplaza a alguno de los sólidos (o a ambos), poniéndolos en contacto, y generando un distribución de presiones a través de fuerza normal entre las superficies (N). El deslizamiento o la tendencia a deslizar de éstas genera a su vez una fuerza de rozamiento (F_μ), también distribuida en la superficies de contacto, cuyo valor máximo (cuando desliza) viene dado por F_μ = μN. Esta fuerza de rozamiento origina a su vez la respuesta, en forma de par de embrague o frenada, que es el par de la fuerza de rozamiento F_μ respecto al eje de giro. Éste es un par interno en el sistema, que actúa con igual magnitud y sentido opuesto sobre cada sólido, y que tiende a frenar al más rápido y acelerar al más lento. En el caso de un freno el sistema está diseñado para que no acelere al sólido estático, aunque hay excepciones como el vuelco que puede producirse en una bicicleta que frena con la rueda delantera, o el pequeño cabeceo de un coche al frenar
La disposición de las superfices de contacto respecto al eje de giro da lugar a los distintos sistemas que estudiaremos (de tambor, de disco o cónicos).

disipación de energía: en los sistemas que estudiamos el par interno es debido a la fuerza de rozamiento, que es disipativa, el proceso de igualación de velocidades lleva consigo la conversión de energía mecánica en calor. En ambos sistemas este fenómeno se produce mientras las velocidades angulares sean distintas (haya deslizamiento): en un embrague hasta que finaliza el embragado, y en un freno hasta que el eje en rotación se detiene.
Por ello, si los procesos son completos (si continuan hasta la igualación de velocidades):\begin_inset Separator latexpar\end_inset

- En un freno se disipa toda la energía mecánica del sólido que quiere detenerse.
- En un embrague, se disipa parte de la energía que llega al eje de entrada, el resto se transmite al eje de salida, acelerándolo.
La disipación de energía en sí no es deseable, pero, sobre todo en el caso de un embrague tiene la ventaja de permitir una conexión suave. Así por ejemplo, desembragar o frenar bruscamente produce una condución incómoda para los viajeros, y castiga más la mecánica del vehículo.

4.2 Disipación de la energía mecánica.

Conceptos:

Fuerza de rozamiento (disipativa).
Deslizamiento y disipación de energía.
Tiempo de conexión.
Incremento de temperatura.

En los sistemas de fricción, el deslizamiento entre las superficies de fricción hace que la fuerza de rozamiento disipe de energía, que en un diferencial de area y por unidad de tiempo viene dada por la expresión dP = v dF_μ = ω dT_μ, donde dP es la potencia disipada, v (o ω) la velocidad lineal (o angular) relativa entre superficies y dF_μ(o T_μ) la fuerza de rozamiento (o par debido a la fuerza de rozamiento). Para obtener la potencia disipada por toda la superficie de fricción, habrá que integrar sobre la zona de contato. En general la fuerza de rozamiento y la velocidad lineal relativa serán funciones de la posición.

En esta sección analizaremos el proceso temporal, la energía disipada, y su efecto en forma de incremento de temperatura

4.2.1 Evolución temporal del proceso de frenada .

4.2.1.1 Sistema aislado: ausencia de pares externos.

Sean dos ejes de momentos de inercia efectivos [A] [A] Llamaremos momento de inercia efectivo (I) la relación entre el par alicado a un sólido, y aquellos a los que está conectado (por ejemplo engranajes) y la aceleración angular que e produce (I = T ⁄ α). No emplearemos una letra distinta de la habitual para el momento de inercia puesto que sólo utilizaremos el efectivo, que en caso de un único sólido, es el momento de inercia. I₁ e I₂ girando inicialmente a velocidades angulares ω_1i y ω_2i (con ω_1i > ω_2i), sobre los que no actúa ningún par salvo el de embrague (interno) cuando éste se acciona. Como se verá más adelante en este tema, el par de embrague (T_e) es proporcional a la fuerza de acción, resultado que ahora daremos por válido; aceptando que ésta es constante durante todo el proceso, la velocidad angular de cada eje varía linealmente

(4.1) ω₁(t) = ω_1i − (T_e)/(I₁)t ω₂(t) = ω_2i + (T_e)/(I₂)t

en estas las expresiones T_e es el módulo del par de embrague (el que actúa sobre un eje es igual y opuesto al que actúa sobre el otro). Definiremos (por analogía con la masa reducida de un sistema de dos cuerpos, y para simplificar la notación) un momento de inercia reducido del sistema I_μ = (I₁I₂) ⁄ (I₁ + I₂). La diferencia de velocidades angulares inical es Δω_i = ω_1i − ω_2i; y su evolución temporal viene dada por

(4.2) Δω(t) = ω₁(t) − ω₂(t) = Δω_i − (T_e)/(I_μ) t ,

expresión que permite determinar el tiempo de conexión, t_e (tiempo en el que las velocidades se igualan)

(4.3) t_e = (I_μ)/(T_e)Δω_i

así como la velocidad final que se consigue ω_f = ω_1f = ω₁(t_e) = ω_2f

(4.4) ω_f = ω_2i + (I_μ)/(I₂)Δω_i = ω_1i − (I_μ)/(I₁)Δω_i

A partir de este instante las velocidades angulares se mantienen iguales. La energía disipada puede obtenerse, en este caso, como la diferencia de energías cinéticas de rotación inicial y final (I₁ω²_1i ⁄ 2 + I₂ω²_1i ⁄ 2 − (I₁ + I₂)ω²_f ⁄ 2) puesto que no hay extracción ni aporte externo de energía. También puede obtenerse, con una expresión más general, a través de la potencia disipada P_d(t) = T_eΔw(t) [B] [B] Obsérvese que la velocidad angular es la misma para todo el sólido, por lo que puede usarse el par de embrague obtenido por integración sobre toda la superficie de contacto.

(4.5) E_d = ^t_e⌠⌡_oP_d(t) dt = ^t_e⌠⌡_oT_eΔω(t)dt = (1)/(2)I_μ(Δω_i)²

Esta cantidad es la energía cinética que tendría un sólido de momento de inercia I_μ girando a una velocidad angular Δω_i

Este caso es excesivamente ideal y difícilmente describe un sistema real. Estudiaremos ahora un sistema más complejo y realista.

4.2.1.2 Eje a régimen constante.

Supondremos ahora el caso de dos ejes, donde el 1 mantiene su velocidad angular constante y donde sobre el 2 sólo actúa el par de embrague. Representa situaciones reales, como

(a) la de un freno (el eje 1 es el freno) ω₁(t) = ω_1i = 0 ≤ ω_2i
(b) la de un embrague donde el motor se mantiene a regimen constante mientras se acelera el eje de salida hasta la velocidad deseada. ω₁(t) = ω_1i > ω₂₁

En el primer caso los anclajes del freno proporcionan al eje un par externo T₁ que compensa el de frenada (T_e); en el segundo el motor produce un par que compensa al de frenada. En ambos casos, sobre el eje 1 se tiene que

(4.6) T_e − T₁ = 0

El eje 2 está sometido únicamente al par de embrague (o frenada). Por fijar las expresiones trataremos el caso (b), pero el (a) es idéntico salvo porque la velocidad angular del eje 2 disminuye en lugar de aumentar. La velocidad angular de cada eje viene dada por:

(4.7) ω₁(t) = ω_1i ω₂(t) = ω_2i + (T_e)/(I₂)t

La función que representa la diferencia de velocidades angulares es ahora

(4.8) Δω(t) = ω₁(t) − ω₂(t) = Δω_i − (T_e)/(I₂) t

y el tiempo de embragado (o de frenado) es

(4.9) t_e = (I₂)/(T_e)Δω_i

La velocidad angular final que se consigue es lógicamente ω_f = ω_1i = ω₂(t_e)

En cuanto a la energía disipada

(4.10) E_d = ^t_e⌠⌡_oP_d(t) dt = ^t_e⌠⌡_oT_eΔω(t)dt = (1)/(2)I₂(Δω_i)²

Que en el caso de un freno coincide con la energía cinética inicial del sólido 2.

Puede comprobarse que estas expresiones derivan de las del anterior caso sin más que considerar que el eje 1 tiene un momento de inercia infinito, con lo que I_μ = I₂. Para un freno esto significa que el eje en reposo está sólidamente unido al resto de la máquina, que tiene un momento de inercia infinito en comparación con el del eje 2 (I₁≫I₂). Por ello, a pesar que el primer caso es más simple que el segundo, éste puede considerarse un caso particular de aquél.

4.2.1.3 Caso general.

En una situación general habrá que conocer la evolución temporal de los pares externos aplicados a cada eje T₁(t) y T₂(t) y del par de embrague T_e(t) (la acción sobre éste puede no ser constante). La evolución de las velocidades angulares no tiene será lineal en general, pero el procedimiento de solución básicamente el descrito, que tal vez haya que resolver numéricamente. Llamando T^T_k al par neto sobre el eje k (compuesto por T_k(t) y T_e(t) y que puede ser positivo o negativo puesto que T_e(t) actúa en sentido contrario sobre cada eje, se tendrá

(4.11) ω_k(t) = ω_ki + ^t⌠⌡_o(T^T_k(t))/(I_k)dt

(4.12) Δω(t) = ω₁(t) − ω₂(t)

El tiempo de conexión vendrá dado por el tiempo menor positivo en el que se anule la diferencia de velocidades

t_e = t | Δω(t_e) = 0

y la energía disipada se obtiene de integrar en el tiempo la potencia disipada por el par de embrague

(4.13) E_d = ^t_e⌠⌡_oT_e(t)Δω(t)dt

4.2.1.4 notas

En un proceso real cualquiera no hay porqué mantener accionado el sistema hasta que se igualen las velocidades angulares. Pese a ello las expresiones son válidas sin más que sustituir t_e por el tiempo de accionamiento, y donde lógicamente las velocidades angulares no llegan a igualarse.
Si por el contrario el sistema se continua accionando, no hay efecto posterior, salvo que se produzca deslizamiento debido a que el par que deba tansmitir el sistema sea superior al nominal T_e

4.2.2 Incremento de temperatura.

Como se ha visto en la sección 4.2.1↑, la energía disipada (E_d) en un proceso de embrague o frenada depende del momento de inercia y velocidad inicial de cada eje, así como de la energía suministrada y/o extraída a/de los ejes durante el proceso. Esta energía se transforma en calor, que se refleja en elevación de la temperatura de las zonas afectadas y puede llegar a limites peligrosos como puede verse la figura 4.1↓ (considérese la energía cinética que debe convertirse en calor durante un aborto de despegue de un avión comercial).

En la medida de los posible un freno o embrague se diseña para evacuar el calor la forma más eficiente posible, como en el caso de los discos ventilados del freno de un automóvil, y esto ayuda a controlar el incremento de temperatura. Sin embargo esto no siempre es posible, como por ejemplo en el caso del paquete de discos de freno de un avión (ver figura 4.1↓) o el embrague de un automóvil.

Simplificando mucho el sistema real se puede estimar la variación máxima de temperatura que se puede producir. Supondremos que todo el sistema está aislado y compuesto por un solo material (de masa M y capacidad calorífica c), si conocemos la energía disipada (E_d) se verifica

E_d = M c ΔT,

expresión que pone de manifiesto que la masa es un factor determinante para limitar el incremento de temperatura. El control de desgaste (pérdida de masa) es en ocasiones vital para la seguridad al limitar el incremento de temperatura. Así, por ejemplo en los frenos de un avión, cuyo alojamiento (en la llanta de la rueda) y su empaquetamiento hace que el calor no pueda disiparse efectivamente, el control mediante el testigo de desgaste puede evitar que un neumático reviente por exceso de temperatura (o que se desinfle al actuar válvula automática regulada por temperatura).

figura EyF_imagenes/sistema-de-frenos1.jpg

Figura 4.1 A la izquierda disco de freno de un automóvil, al rojo vivo; a la derecha, paquete de freno de una rueda de avión, difícilmente ventilable.

4.3 Transmisión de par.

Conceptos:

Deslizamiento y par transmitido.\begin_inset Separator latexpar\end_inset
Se analiza aquí la relación que existe entre el par a la entrada y a la salida cuando se acciona un embrague. En la sección 4.4↓ se obtienen expresiones que permiten determinar el par de embrague o frenado en función de la geometría y acción sobre el sistema, a este par le llamaremos nominal del sistema (T_e); para su obtención se supone que las superficies están deslizando, de modo que la relación entre las fuerzas normal (N) y de rozamiento (F_μ) es F_μ = μN. Si no hubiera deslizamiento, la fuerza de rozamiento, y con ésta la respuesta del sistema (par de frenada o de embrague) puede ser menor.

Un embrague que no desliza se comporta como un eje rígido. En cada sección imaginaria que seleccionemos se transmite integramente el par que llega, pero no puede “generar” par. Por tanto, si no desliza, el par a la salida es igual que a la entrada; en las superficies en contacto la fuerza de rozamiento es la suficiente como para transmitir todo el par que llega a la entrada: F_μ = μ^*N ≤ μN. Esta expresión define de forma implícita un coeficiente de rozamiento efectivo μ^* ≤ μ que es el mínimo necesario para que no exista deslizamiento entre las superficies, y que está limitado.

Cuando para que no exista deslizamiento es preciso que μ^* sea mayor que μ , no siendo posible esta situación, la fuerza de rozamiento se ve limitada, y con ésta, el par que puede transmitir el embrague, que comienza a deslizar. Este comportamiento se refleja en la línea continua del siguiente gráfico.

Figura 4.2 Par de salida frente al de entrada en un embrague o freno

La línea discontinua refleja la situación en la que el par que llega al eje de entrada es menor que el nominal, pero aún así hay deslizamiento. Esta situación siempre es posible, imaginemos dos ejes, sin pares externos actuantes, girando a diferente velocidad angular, que se conectan mediante un embrague de par nominal T_e. La diferencia de velocidades angulares hace que deslicen, y por tanto la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo F_μ = μN, y por tanto el embrague genera sobre los ejes el par nominal actuando sobre ambos ejes hasta que se igualan las velocidades angulares.

Por tanto, en el funcionamiento de un embrague o freno se aprecian dos zonas distintas.

En la primera sobre el eje de entrada se cumple T₁ ≤ T_e. El par a la salida puede ser T₁ o T_e, dependiendo de si hay deslizamiento entre los ejes (T₂ = T_e) o no lo hay (T₂ = T₁).
En la zona sombreada (T₁ > T_e) siempre hay deslizamiento, y por tanto el par a la salida es el nominal T₂ = T_e. La diferencia de pares sobre el eje de entrada hace que éste se acelere.

4.4 Determinación del par nominal. Zapata corta.

Conceptos:

Presión máxima (P_a máximo valor de la presión que aparece el la superficie de contacto, depende de F y de la forma en que la superfice reparte la fuerza normal al deformarse)
Presión máxima admisible (P_m presión máxima que resiste el material de fricción. El diseño debe asegurar que P_a < P_m)
Distribución de presiones. Fuerza normal y de rozamiento.
Dependencia de la fuerza de acción, par de embrague y reacciones con la presión máxima
Efecto autonergizante.

Limitaciones de las expresiones

Se acepta que los materiales empleados tienen coeficiente de rozamiento homogéneo en su superficie.
Los sistemas estudiados son de fricción y están en situación de deslizamiento, de modo que la relación entre las fuerzas normal (N) y de rozamiento (F_μ) es: F_μ = μN. El caso de que no haya deslizamiento se discute en el apartado anterior (4.3↑).

4.4.1 Método general de cálculo.

Resolver un sistema de freno o embrague de fricción es obtener, en función de la fuerza de accionamiento (F), (i) la respuesta del sistema (que puede ser un par o una fuerza, que generan una deceleración angular o lineal), (ii) las reacciones (R) que puedan aparecer sobre los sólidos y (iii) la presión máxima (P_a) que se produce en la superficie.

El método que se presenta obtiene la dependencia con la presión máxima de F, T_e y R:\begin_inset Separator latexpar\end_inset

figura EyF_imagenes/Triangulo_FRT_Pa.png

consiste en 3 pasos, que se enuncian primero y se aplican después al caso de zapata corta en (fig 4.3↓).

Encontrar la distribución de presiones en las superficies de contacto (P(r⃗))
Determinar la relación entre la distribución de presiones y la presión máxima (P(r⃗) = f(P_a))
Aislar cada sólido, considerando las fuerzas (puntuales y distribuidas) que actúan sobre él, e imponer las condiciones adecuadas de equilibrio (de fuerzas y de momentos) para obtener las relaciones: acción sobre el sistema (F(P_a)), respuesta de éste en forma de deceleración γ(P_a) o par T_e(P_a), y reacciones sobre articulaciones o guías (R(P_a))

4.4.2 Aplicación a la zapata corta.

Figura 4.3 Zapata corta

Distribución de presiones en la superficie de contacto (P(r⃗))
Como la superficie de fricción es pequeña, aceptaremos que la rigidez del material es suficiente para que sea homogénea: P(r⃗) = P
Relación entre la distribución de presiones y la presión máxima: según lo anterior P(r⃗) = P_a
Aislar cada sólido, considerar las fuerzas (puntuales y distribuidas) que actúan sobre él, e imponer las condiciones adecuadas de equilibrio (de fuerzas y de momentos) para obtener las relaciones: acción sobre el sistema (F(P_a)), respuesta de éste en forma de deceleración γ(P_a), y reacciones sobre articulaciones o guías (R(P_a))

4.4.2.1 Zapata.

Fuerzas y momentos.

F fuerza de acción, aplicada en un punto para decelerar al sólido. El brazo respecto a la articulación (O) es b
N fuerza normal, es en realidad una fuerza distribuida en toda la superficie de contacto, debida a la presión local en el diferencial de area (dA). Es dN(r⃗) = P_adA que integrada en toda la superfice es N = P_aA (A es el área de la superficie de contacto). Aceptaremos que F y N comparten línea de acción y están aplicadas en el centro de la superficie.
Fuerza de rozamiento. Es también una fuerza distribuida, que por el mismo razonamiento anterior es F_μ = μN = μP_aA. Esta resultante está aplicada en el centro de la superficie y su brazo respecto a la articulación es a.
Reacción en la articulación, R (de componentes desconocidas, que tomamos arbitrariamente como negativas en el sistema de referencia mostrado).

Condiciones de equilibrio.

La zapata está en equilibrio estático, la suma de fuerzas externas cumple ∑F⃗ = 0⃗, y la de momentos respecto a cualquier punto es nulo, particularizando para O, ∑M⃗_O = 0⃗, por lo que

(4.14) − F + N − R_y = 0 F_μ − R_x = 0 Fb − Nb + F_μa = 0

Obsérvese en las ecuaciones de momentos y fuerzas el sentido positivo se ha elegido arbitrariamente, pero que ello no resta generalidad puesto que cada componente se anula. Se ha elegido la articulación para simplificar el sistema, puesto que las reacciones –desconocidas aún– no intervienen. Resolviendo el sistema se obtiene

(4.15) F = (A(b − μa))/(b)P_a R_x = μA P_a R_y = A P_a − F

Todas estas cantidades dependen linealmente de P_a, y en especial se obtiene que P_a es proporcional a la fuerza aplicada, a través de la geometría (A, a, b) y μ

4.4.2.2 Sólido

Fuerzas y momentos. Condiciones de equilibrio.

Para estudiar el movimiento de frenada es suficiente considerar la dirección horizontal, donde para simplificar, consideramos sólo la fuerza de rozamiento, que es la que produce la deceleración γ. Llamando m a la masa del sólido, y obviando el sentido de esta aceleración, que siempre es contrario al movimiento del sólido, se tiene

(4.16) γ = (F_μ)/(m) = (μA)/(m) P_a

La respuesta del sistema (la capacidad de frenada en forma de deceleración), es también proporcional a P_a (y por tanto a la acción ejercida F). El hecho de que todas las cantidades de interés sean lineales con P_a justifica el procedimiento empleado.

No se estudia el equilibrio de fuerzas en la dirección perpendicular al movimiento por carecer de interés en este caso.

4.4.2.3 Conceptos de autoenergización y autobloqueo

Si en el desarrollo anterior se invierte el sentido del movimiento del sólido, cambian algunos signos, afectando de forma profunda al equilibrio de momentos de las fuerzas actuantes sobre la zapata

(4.17) F = (A(b + μa))/(b)P_a

en tanto que la capacidad de frenada sigue teniendo la misma expresión [C] [C] Siempre en sentido contrario al movimiento

(4.18) γ = (μA)/(m) P_a

La diferencia fundamental entre ambos casos es la dependencia de la función F(P_a) con el sentido de avance del sólido:

F = (A(b∓μa))/(b)P_a

Para una zapata sobre la que actúa una fuerza fija F, la presión máxima obtenida en el primer caso (llamado autoenergizante) es mayor que en el segundo (no autoenergizante). Debido a esta diferencia, la fuerza de frenado sobre el sólido es mayor en el caso autoenergizante (es proporcional a P_a).
En un sistema autoenergizante se puede forzar b − μa = 0. En este caso se dice que el sistema está en autobloqueo, y la presión máxima puede crecer arbitrariamente y producir fuerzas de rozamiento enormes.

Si bien el efecto autonergizante puede controlarse con la geometría y mejora el rendimiento del sistema, llevarlo al extremo –autobloqueo– tiene efectos negativos ya que puede dañar el material de fricción (P_a puede superar P_m), y se pierde el control sobre la frenada. Por otro lado también tiene aplicaciones de interés como los fisureros de escalada, la mordaza de tijera, o la rueda libre del rotor de un helicóptero .

figura EyF_imagenes/fisurero_wikipedia.png

figura EyF_imagenes/mordaza_de_tijera.jpg

Figura 4.4 Sistemas con autobloqueo (fisurero, morzaza de tijera, rueda libre)

Es fácil entender el origen del efecto autoenergizante si se observa la expresión del equilibrio de momentos. El momento de las fuerzas normales tiende a separar la zapata del sólido, reduciendo la presión y con ella la fuerza de rozamiento (origen de la deceleración). En una zapata autoenergizante los momentos de las fuerzas normales y las de rozamiento son de signo contrario, (el de las fuerzas de rozamiento incrementa la presión), mientras que en una no-autoenergizante son de igual signo, reduciendo la presión. Se ha visto también que la respuesta del sistema es, en ambos casos, proporcional a la presión máxima y con la misma dependencia funcional. Si el sistema es o no autoenergizante se puede conocer de forma sencilla trazando el sentido de la fuerza de rozamiento en un punto y comprobando el sentido del momento que produce respecto a la articulación: si tiende a pegarla será autoenergizante, mientras que si tiende a despegarla será no-autoenergizante.

4.5 Frenos y embragues de zapata y tambor

Conceptos:

Geometría. Ángulos de abrazamiento.
Sentido de giro. Efecto autoenergizante.
Optimización de sistemas con varias zapatas.

4.5.1 Tambor y Zapata interna

Un freno / embrague de tambor con zapata interna está compuesto por un tambor que gira en su eje de simetría (O), una zapata articulada y un sistema de accionamiento que ejerce una fuerza F que obliga a la zapata a girar en su articulación (A) ponerse en contacto con el interior del tambor, generando una distribución de presiones entre zapata y tambor (ver figura).

En un embrague, la zapata y el sistema de accionamiento pueden girar libremente respecto al eje del tambor. Para ello hay un brazo que gira respecto al eje del tambor y soporta la articulación de la zapata.

En un freno, este brazo está fijo. Los ejes de entrada y salida son coaxiales.

figura EyF_imagenes/EyF_ZI_geometria.png

Figura 4.5 Geometría de un freno de tambor con zapata interna y fuerzas sobre la zapata.

4.5.1.1 Geometría y aplicación del método general

Convenio sobre la geometría:

Sistema de referencia centrado en el eje de rotación del ambor. Origen de ángulos en el eje AX y ángulos de contacto: θ₁, θ₂ (inicio y fin del contacto),θ_a (P(θ_a) = P_a), θ_m(punto donde el brazo de la fuerza de rozamiento respecto a A es nulo, se usará en zapata externa). Radio del tambor (R), anchura de la zapata en la dirección axial (b), posición de la articulación (O⃗ = (a, 0)), fuerza actuante (F), y brazo de ésta respecto a la articulación de la zapata (C).
Hay dos sentidos de giro posibles tambor/zapata. El sentido de la fuerza de rozamiento depende de éste, lo que afecta al carácter autoenergizante de la zapata. Para condensar ambas situaciones en una sola expresión, allí donde sea necesario distinguirlo, el signo superior se usará cuando el tambor gire a derechas respecto a la zapata (el contrario al mostrado en la figura), y el inferior cuando gira a izquierdas (referido siempre a la figura, donde el eje X es el que va desde el eje del tambor a la articulación de la zapata, y ésta abarca ángulos positivos).

Distribución de presiones, simetría y area elemental

La distancia radial a la zona de contacto es constante (r = R). Como la anchura de la zapata (dimensión en la dirección axial) b es pequeña aceptaremos que la presión no varía en la dirección axial, por lo que P(r, θ, z) = P(θ)

El elemento diferencial de área es dA = r dθ dz. Puesto que en las expresiones de fuerzas y momentos que usaremos no aparece la coordenada axial (z), integraremos en esta dirección el area elemental obteniendodA = R b dθ

Considerando que la zapata es un sólido rígido se llega [D] [D] Puede obtenerse esta expresión girando la zapata un pequeño ángulo δ respecto a su articulación y evaluando el desplazamiento normal a la superficie en función de la posición angular θ. a que la presión depende del ángulo como

(4.19) P(θ) ∝ sin(θ)

La presión mínima sucede en θ = θ₁ y la máxima en θ_a = min(θ₂, 90^○) de forma que

(4.20) P(θ) = (P_a)/(sinθ_a)sinθ dN(θ) = (bRP_a)/(sinθ_a)rsinθdθ dFμ(θ) = μdN(θ)

Acciones sobre el tambor

Fuerzas que actuan sobre el tambor (aplicada –ap.–/distribuidas –distr.–):\begin_inset Separator latexpar\end_inset

fuerza	tipo	expresión	brazo resp. O	M_O
Normal	distr.	dN(θ)	0	0
Rozamiento	distr.	dF_μ(θ)	R	dMμ
Reacciones	ap. (O)	E_x,E_y	0	0

Las fuerzas distribuidas sobre el tambor son internas al sistema zapata-tambor, y por el principio de acción y reacción, son iguales y opuestas a las que actúan sobre la zapata, que se analizan en detalle más adelante
Las fuerzas puntuales son sólo la reacción del eje (E⃗) aplicada sobre O y se obtienen del equilibrio de fuerzas sobre el eje una vez se conozcan las fuerzas distribuidas (ver más adelante) [E] [E] Obsérvese que dF_μ(θ) y dN(θ) actúan en distinto sentido sobre el tambor que sobre la zapata.
(4.21) E^x + N^x∓F^x_μ = 0 E^y + N^y±F^x_μ = 0
Momento resultante sobre el eje: es el par de frenada si el punto elegido es O, además:\begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Fuerza normal: no genera momentos por ser radial
- Reacciones: no generan momentos por estar aplicadas sobre el eje
- Fuerza de rozamiento: genera el par de frenada (T). El brazo de esta fuerza distribuida es constante (R), de modo que
  (4.22) T = ^θ₂⌠⌡_θ₁RdF_μ = − (μR²bP_a)/(sinθ_a)[cosθ]^θ₁_θ₁
  que es proporcional a P_a a través de la geometría y μ
  (4.23) T = T’ P_a
  donde se ha definido implícitamente un par geométrico (T’), de dimensiones [L³] que depende sólo de la geometría y μ y que representa el par por unidad de presión máxima, que produce el sistema.
  T’ = − (μR²b)/(sinθ_a)[cosθ]^θ₁_θ₁

Acciones sobre la zapata

Fuerzas actuando sobre la zapata (aplicada –ap.–/distribuidas –distr.–):\begin_inset Separator latexpar\end_inset

fuerza	tipo	expresión	brazo resp. A	M_A
Acción	ap. (punta)	F	c	cF
Normal	distr.	dN(θ)	asin(θ)	dM_N
Rozamiento	distr.	dF_μ(θ)	R − acos(θ)	dMμ
Reacciones	ap. (A)	R_x,R_y	0	0

Las fuerzas distribuidas generan unas resultantes que se obtienen integrando en toda la superficie de contacto la correspondiente componente:

(4.24) N^x = − ^θ₂⌠⌡_θ₁ dN(θ)cos(θ) = − (aRbP_a)/(2sinθ_a)[sin²θ]^θ₂_θ₁ N^y = − ^θ₂⌠⌡_θ₁ dN(θ)sin(θ) = − (RbP_a)/(2sinθ_a)⎡⎣θ − (sin(2θ))/(2)⎤⎦^θ₂_θ₁ F^x_μ = ±^θ₂⌠⌡_θ₁ dF_μ(θ)cos(θ) = ±(μRbP_a)/(2sinθ_a)⎡⎣θ − (sin(2θ))/(2)⎤⎦^θ₂_θ₁ F^y_μ = ∓^θ₂⌠⌡_θ₁ dF_μ(θ)sin(θ) = ∓(μaRbP_a)/(2sinθ_a)[sin²θ]^θ₂_θ₁

Y unos momentos respecto a la articulación (en lo sucesivo se omite el punto A en las expresiones):

(4.25) M_N = ^θ₂⌠⌡_θ₁asinθ dN(θ) = (aRbP_a)/(2sinθ_a)⎡⎣θ − (sin(2θ))/(2)⎤⎦^θ₂_θ₁ M_μ = ^θ₂⌠⌡_θ₁(R − acosθ)dF_μ = (μRbP_a)/(2asinθ_a)[R − acosθ]^θ₂_θ₁ = − (μRbP_a)/(sinθ_a)⎡⎣Rcosθ + (a)/(2)sin²θ⎤⎦^θ₂_θ₁

definiremos las cantidades M’_N y M’_μ que llamaremos “momentos geométricos”, de dimensiones [L³], que dependen únicamente de la geometría (y el coeficiente de rozamiento) y que pueden calcularse con la geometría de la zapata, sin actuar ésta.

(4.26) M’_N = (aRbP_a)/(2sinθ_a)⎡⎣θ − (sin(2θ))/(2)⎤⎦^θ₂_θ₁ M’_μ = (μRb)/(2asinθ_a)[R − acosθ]^θ₂_θ₁ = − (μRb)/(sinθ_a)⎡⎣Rcosθ + (a)/(2)sin²θ⎤⎦^θ₂_θ₁

de modo que las ecuaciones de momentos se reescriben

(4.27) M_N = M’_NP_a M_μ = M’_μP_a

Estos momentos M_N y M_μ son proporcionales a P_a a través de la geometría (M’_N y M’_μ)

Equilibro de fuerzas y momentos

Dado que la zapata está en equilibrio estático se cumple ∑F⃗ = 0⃗, y ∑M⃗_P = 0⃗ para cualquier punto P. Particularizando para A —de modo que las reacciones no intervengan— ∑M⃗_A = 0⃗. Como el sistema es plano:

(4.28) F^x − N^x±F^x_μ + R_x = 0 F^y − N^y∓F^y_μ + R_y = 0 cF − M_N±M_μ = 0

De estas ecuaciones la más importante es la de equilibrio de momentos, que aparece multiplicada por − 1 y que puede reescribirse

(4.29) F = (M_N∓M_μ)/(c) = (M’_N∓M’_μ)/(c) P_a

La presión máxima obtenida es proporcional a la fuerza aplicada, a través de la geometría y del coeficiente de rozamiento. El factor de proporcionalidad es distinto en función del sentido de giro tambor/zapata.

4.5.1.2 Sistemas autoenergizantes y no autoenergizantes.

Relación con el sentido de giro

En la expresión 4.29↑ se observa que, para zapatas idénticas, el factor de proporcionalidad F ⁄ P_a es mayor para tambores que giran a izquierdas (signo + en la ecuación) y necesitan mayor fuerza para generar la misma presión máxima, qué como se verá es proporcional al par conseguido. Esta zapata será no-autoenergizante, mientras que si gira a derechas (signo + ), será autoenergizante. Al igual que en zapata corta, si se traza el sentido de la fuerza de rozamiento, por ejemplo en θ_a, puede conocerse a priori el carácter de la zapata

Optimización del par de frenada. Simplificación del sistema accionador

Habitualmente es preferible disponer una zapata de forma que sea autoenergizante puesto que produce más par a igualdad de fuerza aplicada. Sin embargo, consideremos el freno de tambor de un vehículo que estuviese compuesto por una sola zapata. Si se diseña para que sea autoengizante en el sentido habitual de la marcha, será menos efectivo en sentido contrario (esto cobra importancia al usarlo como freno de estacionamiento en una cuesta). Por ello en los sistemas de tambor, donde éste puede girar en ambos sentidos, el sistema consta de dos zapatas idénticas, en orientacies contrarias y compartiendo la articulación; las fuerzas de accionamiento se producen con un sistema hidráulico que ejerce la misma acción -en sentidos opuestos- sobre ambas zapatas (el sistema tiene un plano de simetría).

Falta

Figura 4.6 Esquema de freno de tambor de un vehículo

De esta forma una de ellas es autoenergizante y la otra no autoenergizante; al cambiar el sentido de giro ambas cambian su papel, manteniéndose la capacidad de frenada.

Este diseño tiene otra ventaja pues en esta situación: el sistema de accionamiento es simple (requiere un sólo bombín con dos émbolos), y gran parte de las reacciones existentes en el sistema se cancelan entra ambas zapatas.

Para este sistema es muy sencillo obtener las presiones máximas sobre cada zapata (indicaremos con el superíndice A a la zapata autoenergizante, y con NA a la no-autoenergizante)

(4.30) P^A_a (M’_N − M’_μ)/(c) = F^A = F^NA = (M’_N + M’_μ)/(c) P^NA_a

(4.31) (P^A_a)/(P^NA_a) = (M’_N + M’_μ)/(M’_N − M’_μ)

4.5.2 Zapata externa

Revisión de la geometría, destacando las diferencias con el caso de zapata interna
Revisión de las fuerzas distribuidas y de los momentos que éstas producen.\begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Atención especial al momento de las fuerzas de rozamiento, con análisis del brazo de esta fuerza, distinguiendo dos zonas en cada zapata, una de las cuales es autoenergizante y la otra, no autoenergizante. Obtención del punto de cambio θ_m (punto donde el momento de las fuerzas de rozamiento respecto a la articulación (A) es nulo.
- A diferencia de las de zapata interna, el que una sea globlalmente autoenergizante o no, depende del sentido de giro y además de la geometría.
Maximización del par en un sistema de dos zapatas simétricas (por reflexión) sometidas a fuerzas idénticas
En realidad la diferencia principal está en la localización de la articulación (interior o exterior al tambor a < R o a > R. Extensión a zapata interna

4.6 Frenos y embragues de contacto axial.

Conceptos:

Geometría.
Distribuciones de presión y capacidad de frenada.\begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Control de la pérdida de capacidad de frenada.
Apilamiento de discos: desplazamiento axial.

Falta

Figura 4.7 Geometría de un embrague de disco. dependencia con β

Componentes y geometría: \begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Está formado por dos sólidos (1 y 2) que rotan en ejes coaxiales. Las superficies que entrarán en contacto están contenidas en superficies cónicas: tienen simetría de revolución, con radios interiores R_i, k (k = {1, 2}) y exteriores R_e, k; forman un ángulo δ con el eje. Si δ = 90^○ son sistemas de disco, y en caso contrario, cónicos, para los que el ángulo cónico α = 90^○ − δ no suele ser entre 10^○ y 10^○ para aprovechar el efecto de cuña limitando sus efectos negativos). El ángulo abarcado entorno al eje (β) suele ser \strikeout off\uuline off\uwave off2πrad\uuline default\uwave default, aunque puede ser menor en uno de los elementos (como en los frenos de disco de un coche). La geometría puede ser compleja; consideraremos los tres casos más habituales:\begin_inset Separator latexpar\end_inset
  - discos completos: β = 2πrad, α = 90^○ (frenos de avión, embragues de coche o motocicleta)
  - sector de corona circular β < 2πrad, α = 90^○ (frenos de coche o moto)
  - cónicos: β = 2πrad, α < 90^○ (sistema de sincronismo de cambio de marchas)
- Uno de los elemento tiene movilidad axial y se desplaza por la fuerza de accionamiento. El otro elemento puede tener movilidad axial limitada o nula por la reacción del eje.
Ventajas: \begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Independencia del par de frenada con el sentido de giro (ausencia de efecto autonergizante)
- Posibilidad de optimizar la distribución de presiones mediante uno o más actuadores
- Posible evacuación del calor mediante un fluido (aire o aceite).\begin_inset Separator latexpar\end_inset
  - discos ventilados (limitación en aeronáutica por la disposición de los frenos)
  - frenos y embragues secos y sumergidos en aceite
- Aumento de la capacidad de frenada mediante apilamiento de discos (no en cónicos)
- Efecto de cuña en cónicos (requieren menor fuerza de acción)
Desventajas\begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Peor disipación del calor, especialmente en sistemas apilados (problemas que aparecen en paquetes de frenos alojados en la rueda del tren de aterrizaje de un avión) y en cónicos.
- Dificultades en el proceso de desconexión en cónicos

4.6.1 Frenos y embragues de disco

Se trata aquí un freno o embrague de disco completo (β = 2πrad). Las expresiones para distribución genérica de presiones se dejarán en función de β para aplicarlas con facilidad a otros casos. En el caso de discos no completos, las acciones externas necesarias para mantener el sistema en equilibrio pueden ser más complejas y deberán tratarse considerando la geometría de cada caso particular.

Aplicación del método general

Se acepta que la distribución de presiones tiene simetría de revolución sobre las superficies en contacto (P(r, θ) = P(r)). En lo que sigue se usará una distribución de presiones genérica P(r) y posteriormente se discutirán distintos tipos de distribución.

Las fuerzas actuantes

Cuando el sistema funciona, su centro de masas está en equilibrio, por lo que la fuerza total sobre él es nula: las fuerzas sobre el sólido 1 son iguales y opuestas a las que actúan sobre el 2. El resto de fuerzas son internas, y por el princio de acción y reacción, en cada sólido también son iguales y de sentido opuesto. Por ello, sobre ambos sólidos actúa un sistema de fuerzas y momentos equivalente, y basta estudiar uno de los sólidos para resolver el problema completo.

Para discos completos (β = 2π), las únicas fuerzas externas que actúan sobre el sistema [F] [F] Esta afirmación se justifica más adelante. (conjunto de dos discos en contacto) son la de acción (F⃗) sobre un sólido o la de reacción (R⃗) sobre el otro. Las fuerzas distribuidas son la normal que actúa en dirección axial (dN(r) = P(r)dA = P(r)rdθdr) y la de rozamiento que lo hace en un plano perpendicular al eje (dF_μ(r) = μdN(r))

El equilibrio de fuerzas sobre él conjunto exige que sean iguales y de sentido opuesto

(4.32) F⃗ + R⃗ = 0⃗
Efecto de las fuerzas axiales aplicadas (F⃗ o R⃗) y normal (dN(r)). \begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Fuerza resultante: equilibrio de fuerzas axiales
  
  (4.33) R = F = ⌠⌡_AreadN(r)^R_e⌠⌡_{R_i}^β⌠⌡₀P(r)rdθdr = β^R_e⌠⌡_{R_i}rP(r)dr
- Momento resultante: es nulo sobre el eje por ser paralelas a él. También es nulo sobre cualquier diámetro; esto es cierto si β = 2π, en caso contrario habrá un par de vuelco (por ejemplo en el caso de los frenos de disco de un coche o motocicleta, que habitualmente está compensado por haber una zapata a cada lado del disco)
Efecto de las fuerzas perpendiculares al eje, distribuidas (dF_μ⃗(r)) \begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Fuerza resultante: nula por simetría (si β = 2π) puesto que la presión tiene simetría axial.
- Momento resultante: nulo en cualquier diametro (la línea de acción de estas fuerzas o bien es paralela al diámetro, o lo corta). Sobre la dirección axial es el par de frenada:
  
  (4.34) T_e = ⌠⌡_AreardF_μ(r) = ^R_e⌠⌡_{R_i}^β⌠⌡₀μr²P(r)dθdr = βμ^R_e⌠⌡_{R_i}r²P(r)dr

4.6.1.1 Distribución de presiones homogénea (Presión constante)

Para maximizar el par de frenada, la expresión 4.34↑ indica que es preciso maximizar la función P(r) lo que implica hacerla independiente de r y con el valor mayor posible (inferior a P_m), es decir P(r) = cte = P_a. En este caso, las expresiones 4.33↑ y 4.34↑ se convierten en

(4.35) F = π(R²_e − R²_i)P_a T = (2πμ)/(3)(R³_e − R³_i)P_a T = (2μ)/(3)(R³_e − R³_i)/(R²_e − R²_i)F

Conviene remarcar la dependencia lineal de F y de T con P_a, a través de la geometría, resultado que ya se ha encontrado en los casos anteriormente analizados.

4.6.1.2 Distribución de presiones de desgaste homogeneo

Consideremos el trabajo desarrollado por un diferencial de area del disco dA = rdθdr bajo una distribución de presiones arbitraria que mantenga la simetría de revolución (P ≠ P(θ)). La fuerza normal que se ejerce en esta superficie elemental es dN = P(r)dA, y el módulo de la fuerza de rozamiento es dF_μ = μP(r)dA, que respecto al eje produce un par dT_e = μrP(r)dA; si la diferencia de velocidades angulares entre los discos es ω, desarrolla una potencia dP = ωdT = ωμrP(r)dA. La potencia por unidad de area (trabajo por unidad de tiempo y area) es ωμrP(r).

Si la presión en todo el disco fuese constante (como en el caso analizado anteriormente), las zonas exteriores del disco desarrollarían más trabajo en el mismo tiempo y se desgastarían más deprisa. De hecho cualquier distribución de presiones que no satisfaga rP(r) = constante produce un desgaste no homogeneo en la dirección radial del disco. En las zonas con más desgaste se reducirá la presión y el desgaste posterior. Se llega así a una situación de desgaste homogeneo cuando la potencia desarrollada por el área elemental sea independiente de la distancia radial, es decir, cuando \strikeout off\uuline off\uwave offωμrP(r)dA = cte, es decir, una distribución de presiones inversamente proporcional a r. La presión máxima sucede entonces en R_i (P_a = P(R_i)). Expresando P(r) en función de la presión máxima y la geometría:

(4.36) P(r) = (R_iP_a)/(r)

En este caso, las expresiones 4.33↑ y 4.34↑ se convierten en

(4.37) F = 2πR_i(R_e − R_i)P_a T = πμR_i(R²_e − R²_i)P_a T = (μ)/(2)(R_e + R_i)F

Conviene remarcar que cualquier distribución de presiones termina por convertirse en ésta. Y también que se obtiene una dependencia lineal de F y de T con P_a, a través de la geometría, resultado obtenido en todos los casos anteriores.

4.6.1.3 Variación del par de embrague

Para una geometría y fuerza de acción dadas, la distribución que más par produce es la de presión constante (P(r) = P_a), lo que hace que sea la preferida para el diseño de un embrague o freno.

Sin embargo durante la utilización esta distribución de presiones (o cualquier otra) evoluciona inevitablemente hasta convertirse en la de desgaste homogéneo.

Evaluamos ahora la variación (reducción) de la capacidad de embrague de un disco desde su situación inicial (P(r) = P_a) hasta la de desgaste constante P(r) = R_iP_a ⁄ r para analizar los factores de los que depende y tratar de minimizarla.

Llamaremos Tⁿ al par producido por en embrague con el disco nuevo (presión constante) y T^u al obtenido con el disco desgastado (desgaste homogéneo)

(T^u)/(Tⁿ) = (3)/(4)((R_e + R_i)(R²_e − R²_i))/((R³_e − R³_i))(F^u)/(Fⁿ)

Si la fuerza actuante es constante durante toda la vida del embrague:

(T^u)/(Tⁿ) = (3)/(4)((R_e + R_i)(R²_e − R²_i))/((R³_e − R³_i))

que expresada en función de la relación de radios q = R_e ⁄ R_i queda:

(T^u)/(Tⁿ) = (3)/(4)((q + 1)(q² − 1))/((q³ − 1))

La siguiente gráfica muestra esta evolución para valores de q de 1 a 50.

Figura 4.8 Pérdida de capacidad de embrague de disco sometido a fuerza constante, debido a la variación de distribución de presiones.

Se obseva que la menor pérdida de capacidad de frenada se produce cuando ambos radios son parecidos (q ≈ 1) y que el límite de pérdida es el 25%.

En la siguiente gráfica se presenta la función 1 ⁄ r que describe la variación de presión en desgaste constante, y se marcan dos sistemas iniciales con presión constante, uno para R_i pequeño y otro grande, e igual relación q.

Figura 4.9 Evolución de la distribución de presiones (nuevo - usado) en dos sistemas con distinto radio interior e igual relación de radios (q).

Se observa que cuanto mayor es el radio interior, menos diferencia hay entre la distribución inicial de presiones y la final. Por ello es preferible diseñar un embrague con radio interior grande, y poca diferencia de radios:

Para igual diferencia de radios, (ΔR = R_e − R_i), al incrementar R_i disminuye la pérdida al reducirse q = 1 + (ΔR)/(R_i)
Para igual valor de pérdida (q fijo) el area del embrague es mayor A = π(R²_e − R²_i) = π(q² − 1)R²_i y puede soportar más fuerza sin superar la presión máxima admisible, y generar por tanto más par.
Transmite más par puesto que la fuerza de rozamiento tiene un brazo mayor

Como inconveniente hay parte del interior que no se utiliza, sin embargo esta parte aloja el eje y evita que la presión se dispare en esta zona.

4.6.1.4 Discos no completos.

Expresiones con β < 2π para zapatas con geometría de sector de corona circular\begin_inset Separator latexpar\end_inset
- Distribución de presiones: presión constante
  
  (4.38) F = (β)/(2)(R²_e − R²_i)P_a T = (βμ)/(3)(R³_e − R³_i)P_a T = (2μ)/(3)(R³_e − R³_i)/(R²_e − R²_i)F
- Distribución de presiones: desgaste homogeneo
  
  (4.39) F = β(R_e − R_i)R_iP_a T = (βμ)/(2)(R²_e − R²_i)R_iP_a T = (μ)/(2)(R_e + R_i)F
Freno de disco de un vehículo con dos zapatas y pinza flotante

Falta

Figura 4.10 Esquema de un freno de disco de un automóvil.

4.6.1.5 Apilamiento de discos

Formas de apilamiento, movimiento relativo entre discos, fuerza de acción sobre cada uno y par transmitido, distinguiendo el par individual y el total.
Limitaciones de las expresiones por el desgaste no uniforme de los distintos discos de un empaquetamiento debidos al rozamiento con las guías)

4.6.1.6 Desgaste superficial en el modelo de desgaste uniforme

4.6.2 Embragues y frenos cónicos

La geometría está indicada en la sección anterior: ángulo abarcado β = 2πrad, radios interior y exterio R_i y R_e y ángulo cónico α. Se acepta también que la distribución de presiones tiene simetría de revolución sobre las superficies en contacto (P(r, θ) = P(r)). El area elemental sobre una superficie cónica viene dada por dA = rdθdr ⁄ sinα (la superficie de un tronco de cono es π(R²_e − R²_i) ⁄ sinα)

La diferencia fundamental con el freno de disco es que la fuerza normal tiene componente radial además de la axial, y su descomposición depende del ángulo α:

(4.40) dN^a = dNsinα dN^r = dNcosα

Esta componente radial no produce momentos respecto al eje (su línea de acción lo corta) ni en direcciones perpendiculares (β = 2π y P(r)) . Tampoco produce una resultante neta de fuerza (β = 2π y P(r)). Tampoco tiene efecto directo sobre el equilibrio de fuerzas en la dirección axial puesto que la componente axial de la fuerza normal equilibra la fuerza de acción aplicada:

(4.41) R = F = ⌠⌡_AreadN^a(r) = ^R_e⌠⌡_{R_i}^β⌠⌡₀sinα(P(r)rdθdr)/(sinα) = β^R_e⌠⌡_{R_i}rP(r)dr = F^disco

Retomando las expresiones para disco completo, se comprueba que la fuerza aplicada es también es proporcional a la presión conseguida, con igual factor (la expresión es idéntica). Sin embargo la superficie cónica es mayor que la equivalente a la de disco completo (iguales radios exterior e interior), por lo que la presión conseguida, siguiendo igual distribución radial que en el caso de disco, producirá más par de frenada por ser mayor el area de contacto. Es decir, de forma indirecta tiene influencia sobre el par de frenada. La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal , no sólamente a la componente radial: dF_μ = μdN

(4.42) T_e = ⌠⌡_AreardF_μ(r) = ^R_e⌠⌡_{R_i}^β⌠⌡₀(r²μP(r)dθdr)/(sinα) = (μβ)/(sinα)^R_e⌠⌡_{R_i}r²P(r)dr = (T^disco_e)/(sinα)

En consecuencia, independientemente de qué distribución de presiones se emplee, se cumple

(4.43) (T_cónico)/(F_cónico) = (1)/(sinα)(T_disco)/(F_disco)

Vemos que el par conseguido con un embrague cónico por unidad de fuerza aplicada y para geometrías equivalentes (iguales radios R_i y R_e) es mayor que el de uno de disco en un factor 1 ⁄ sinα. Este efecto es llamado de cuña, y además de efectos ventajosos también tiene inconvenientes.

Estos sistemas son más difíciles de refrigerar, mientras que producen más calor (más par disipado)
Si el ángulo α es muy pequeño, es necesaria una fuerza grande para separar las superficies.

4.6.2.1 Distribución de presión constante

Las expresiones se obtienen combinando las ecuaciones 4.41↑ y 4.42↑ con las de disco completo para esta distribución de presiones:

(4.44) F = π(R²_e − R²_i) P_a T = (2πμ)/(3sinα) (R³_e − R³_i) P_a T = (2μ)/(3sinα) (R³_e − R³_i)/(R²_e − R²_i) F

4.6.2.2 Distribución de desgaste homogeneo

Las expresiones se obtienen combinando las ecuaciones 4.41↑ y 4.42↑ con las de disco completo para esta distribución de presiones:

(4.45) F = 2π(R_e − R_i)R_i P_a T = (πμ)/(sinα)(R²_e − R²_i)R_i P_a T = (μ)/(2sinα)(R_e + R_i) F

Bibliografía

[1] Diseño en Ingeniería Mecánica (de Shigley), R.G. Budynas, J.. Nisbett, Mc. Graw Hill. Capítulo 16

[2] Diseño en Ingeniería Mecánica. Joshep E. Shigley, Larry D. Mitchell. Mc. Graw Hill. Capítulo 16.

[3] Diseño de Máquinas. Un enfoque integrado. Robert L. Norton. Prentice Hall. Capítulo 13